測量士補 応用測量 問7出典: 令和6年度 問27

座標法で四角形の面積を求め，そこから長方形の辺の長さを逆算する問題です。正答は 2「+9.382 m」です。

Step1: 四角形ABCDの面積を座標法で求める

座標法（ガウスの公式）：

S = 1/2 × |Σ(X_i × Y_{i+1} − X_{i+1} × Y_i)|

A→B→C→D→A の順に計算：

• A→B: (−22.260)×6.000 − 24.740×6.000 = −133.56 − 148.44 = −282.00
• B→C: 24.740×76.000 − 16.740×6.000 = 1,880.24 − 100.44 = 1,779.80
• C→D: 16.740×70.000 − (−22.260)×76.000 = 1,171.80 + 1,691.76 = 2,863.56
• D→A: (−22.260)×6.000 − (−22.260)×70.000 = −133.56 + 1,558.20 = 1,424.64

合計 = −282.00 + 1,779.80 + 2,863.56 + 1,424.64 = 5,786.00

S_ABCD = 5,786.00 / 2 = 2,893.00 m²

Step2: 長方形AEFDの面積

S_AEFD = S_ABCD × 70% = 2,893.00 × 0.70 = 2,025.10 m²

Step3: 長方形AEFDの形状から点Fの X 座標を求める

長方形AEFDでは：

• A(−22.260, +6.000)，D(−22.260, +70.000)（左辺）
• E(X_F, +6.000)，F(X_F, +70.000)（右辺，E・F 同じ X 座標）
• 縦幅 = 70.000 − 6.000 = 64.000 m
• 横幅 = X_F − (−22.260) = X_F + 22.260

S_AEFD = 64.000 × (X_F + 22.260) = 2,025.10

X_F + 22.260 = 2,025.10 / 64.000 = 31.642

X_F = 31.642 − 22.260 = +9.382 m

【座標法による面積計算と逆算の手順】

座標法（ガウスの公式）の確認

n 頂点 (X₁,Y₁)〜(Xₙ,Yₙ) の多角形の面積 S：

S = 1/2 × |Σᵢ(Xᵢ × Yᵢ₊₁ − Xᵢ₊₁ × Yᵢ)|（添字は mod n で循環）

Step1: S_ABCD の計算（各項の詳細）

| 辺 | Xᵢ × Yᵢ₊₁ | Xᵢ₊₁ × Yᵢ | 差 |

|---|----------|----------|---|

| A→B | (−22.260)×(+6.000) = −133.56 | (+24.740)×(+6.000) = +148.44 | −282.00 |

| B→C | (+24.740)×(+76.000) = +1,880.24 | (+16.740)×(+6.000) = +100.44 | +1,779.80 |

| C→D | (+16.740)×(+70.000) = +1,171.80 | (−22.260)×(+76.000) = −1,691.76 | +2,863.56 |

| D→A | (−22.260)×(+6.000) = −133.56 | (−22.260)×(+70.000) = −1,558.20 | +1,424.64 |

合計 = −282.00 + 1,779.80 + 2,863.56 + 1,424.64 = +5,786.00

S_ABCD = |+5,786.00| / 2 = 2,893.00 m²

Step2: S_AEFD の計算

S_AEFD = 2,893.00 × 0.70 = 2,025.10 m²

Step3: 長方形 AEFD の各辺の検討

図 27 より，長方形 AEFD の構成：

• 辺 AD（左辺）: A(−22.260, +6.000) → D(−22.260, +70.000)

長さ = 70.000 − 6.000 = 64.000 m（X 一定，Y 変化）

• 辺 AE（下辺）: A(−22.260, +6.000) → E(X_F, +6.000)

長さ = X_F − (−22.260) = X_F + 22.260（X 変化，Y 一定）

• 辺 EF（右辺）: E(X_F, +6.000) → F(X_F, +70.000)

長さ = 64.000 m（X 一定）

• 辺 DF（上辺）: D(−22.260, +70.000) → F(X_F, +70.000)

Step4: X_F の逆算

S_AEFD = 縦幅 × 横幅

2,025.10 = 64.000 × (X_F + 22.260)

X_F + 22.260 = 2,025.10 / 64.000 = 31.6422 m

X_F = 31.6422 − 22.260 = +9.382 m

→ 選択肢 2「+9.382 m」が正答

【用地測量の面積計算と土地区画整理の実務的深掘り】

座標法（ガウスの公式）の数学的背景

ガウスの公式はグリーンの定理（面積分 = 線積分）から導かれる：

S = 1/2 × |∮(X dY − Y dX)| = 1/2 × |Σᵢ(Xᵢ × Yᵢ₊₁ − Xᵢ₊₁ × Yᵢ)|

多角形の頂点を反時計回りに並べると結果が正値，時計回りだと負値となる（絶対値をとる）。

本問の四角形 ABCD の頂点順（図 27 から読む）：

A（左下）→ B（右上角）→ C（右）→ D（右下）→ A：時計回り（−符号が基本）

計算結果の +5,786 は頂点の回り方向の設定により絶対値処理。

面積の精度と計算誤差の管理

S_ABCD = 2,893.00 m²の精度：

座標値の最小読み取り単位 = 0.001 m（1 mm）

→ 各座標の誤差 ±0.001 m から面積誤差 δS ≒ Σ|ΔXᵢ × Yᵢ| / 2

実用上，座標を 3 桁以上で管理すれば面積誤差は数 cm² 以内。

土地区画整理での用地計算（実務）

本問は計画道路建設に伴う土地形状変更（ABCD → AEFD）であり，現実の用地測量業務に対応。

手順：

① 既存土地の境界測量（座標値取得）

② 座標法で現在面積算出（S_ABCD = 2,893 m²）

③ 換地設計（面積按分・形状変更）

④ 長方形等の整形地に換地（S_AEFD = 2,893 × 0.7 = 2,025.1 m²）

⑤ 新境界点（E・F）の座標計算 → 境界杭設置

70% 換地の根拠：計画道路用地として 30% を提供（道路用地負担率 30%）するとともに，整形地（長方形）として利便性向上を図る。

三斜法との比較

本問の多角形を3つの三角形に分割する三斜法：

三角形 ABD：S₁ = 1/2 × |AB × AD × sin(∠BAD)|（計算複雑）

三角形 BCD：S₂ = ...

→ 頂点数が多い多角形では座標法が圧倒的に効率的（三斜法より誤差も少ない）。

上位資格（測量士）への接続

測量士試験では，任意多角形の面積計算（n 点）・座標変換（平行移動・回転）を組み合わせた問題，または「面積が一定値となる分割線の方程式を求める」など，より複合的な計算が出題される。また，地籍調査（国土調査法）での面積計算精度基準（等級別許容範囲）も実務上の重要知識である。