測量士補 GNSS測量 問12出典: 令和8年度 問9

GNSS測量の基線ベクトルから斜距離を計算する問題です。正答は「3（547.723 m）」です。

まず，A→Cの基線ベクトルを求めます。

A→B のベクトル：(+300, +100, −100)

C→B のベクトル：(+200, +300, +400)

A→C = A→B のベクトル − C→B のベクトル

（A→CはA→Bを使い，CからBを引けばCからAの逆が得られます）

B→C = −(C→B) = (−200, −300, −400)

A→C = A→B + B→C = (300, 100, −100) + (−200, −300, −400)

= (+100, −200, −500)

斜距離 = √(100² + 200² + 500²)

= √(10000 + 40000 + 250000)

= √300000

= 100√30

≒ 100 × 5.4772

= 547.72 m ≒ 547.723 m

【GNSS基線ベクトルの合成と斜距離計算の手順】

Step 1：A→C のベクトル成分を求める

与えられた基線ベクトル：

• A → B：(ΔX, ΔY, ΔZ) = (+300, +100, −100)
• C → B：(ΔX, ΔY, ΔZ) = (+200, +300, +400)

B → C = −(C → B) = (−200, −300, −400)

A → C = (A → B) + (B → C)

= (300 + (−200), 100 + (−300), −100 + (−400))

= (+100, −200, −500)

Step 2：斜距離の計算

斜距離 D(A→C) = √(ΔX² + ΔY² + ΔZ²)

= √(100² + (−200)² + (−500)²)

= √(10,000 + 40,000 + 250,000)

= √300,000

= √(10,000 × 30)

= 100√30

√30 の計算（関数表の平方根欄参照）：

√30 = √(3 × 10) = √3 × √10

√3 = 1.73205，√10 = 3.16228

√30 = 1.73205 × 3.16228 = 5.47723

D = 100 × 5.47723 = 547.723 m

選択肢の確認：

選択肢2（447.214 m = 100√20）：ΔZ = −400と誤算した場合。

選択肢3（547.723 m）：正答。

選択肢5（707.107 m = 500√2）：ΔX・ΔYのみで計算した場合の誤り。

【地心直交座標系と基線ベクトル合成の深層：GNSS測量実務への接続】

地心直交座標系（ECEF座標系）の定義：

令和7年国土交通省告示第518号に定められた地心直交座標系（Earth-Centered Earth-Fixed, ECEF）は，地球重心を原点とし，X軸は赤道面と本初子午線の交点方向，Z軸は地球北極方向，Y軸は右手系で定義されます。この座標系はGPS衛星の軌道計算・信号処理に使用されるWGS84座標系と実質的に同じです（差は1 cm以内）。

基線ベクトルの物理的意味：

GNSS基線解析で得られる (ΔX, ΔY, ΔZ) は，2点間の地心直交座標の差分であり，「斜距離」はこの三次元ベクトルの絶対値（ユークリッド距離）です。実際の地表面に沿った距離（地表距離）や楕円体面上の距離（基準面上距離）とは異なります。

ベクトル合成における符号の注意点：

本問の核心は「C→B の方向が与えられているため，A→C の計算には方向を反転させる必要がある」点です。

A→C = A→B + B→C = A→B − (C→B)

この向き管理ミスが最も多い計算ミスです。試験時は基線ベクトルの方向（「始点→終点」）を矢印で図示することが有効です。

√300,000 の因数分解と計算効率化：

√300,000 = √(3 × 100,000) = √(3 × 10⁵) = 10²√(3 × 10) = 100√30

関数表の「平方根」列から：√30 は直接掲載されていない場合，√3 × √10 に分解して求めます。

√3 = 1.73205（√3 は暗記推奨）

√10 = 3.16228（√10 は関数表または10 = 3.16228² の暗記）

実務でのGNSS斜距離の活用：

GNSS基線解析では斜距離（三次元距離）から楕円体面上距離への変換が必要です。

楕円体面上距離 S = D × R / (R + h_mean)

ここで R は平均曲率半径（約6,371,000 m），h_mean は両端点の平均楕円体高。この補正は長距離基線（数十〜数百 km）では数十 cm に達するため，高精度測量では必須です。

測量士試験では，この地心直交座標→楕円体面距離→平面直角座標への一連の変換計算が複合問題として出題されます。