測量士補 多角測量 問12出典: 令和6年度 問6

方向角と距離から座標を求める基本計算問題です。正答は 4「X_B = −226.42 m，Y_B = +280.85 m」です。

平面直角座標系では，X 軸が北方向，Y 軸が東方向です（通常の数学座標と X・Y が逆）。

方向角は北（X 軸正方向）を基準に時計回りに測ります。

座標差の計算式：

• ΔX = D × cos(T)　（D：距離，T：方向角）
• ΔY = D × sin(T)

方向角 305°00′00″：第4象限（北北西方向）

• cos305° = cos(360° − 55°) = cos55° = 0.5736
• sin305° = sin(360° − 55°) = −sin55° = −0.8192

ΔX = 1,000.00 × 0.5736 = +573.58 m

ΔY = 1,000.00 × (−0.8192) = −819.15 m

X_B = −800.00 + 573.58 = −226.42 m

Y_B = +1,100.00 + (−819.15) = +280.85 m

【方向角と距離による座標計算の手順】

平面直角座標系の基本

日本の平面直角座標系（測量法施行令第2条・国土交通省告示第9号）の特徴：

• X 軸 = 北方向（正が北）
• Y 軸 = 東方向（正が東）
• 方向角 T = 北方向（X 軸正方向）から時計回りに測った角度（0° 〜 360°）

座標差の計算式

ΔX = D × cos T

ΔY = D × sin T

（数学の直交座標（x 東，y 北）と比較すると X↔Y が入れ替わっていることに注意）

計算手順

Step1: 方向角の象限確認

305°00′00″ = 360° − 55° → 第4象限（北東象限のうち北西寄り，実際は北西方向）

cos305° = cos(360° − 55°) = +cos55° = +0.5736

sin305° = sin(360° − 55°) = −sin55° = −0.8192

Step2: 座標差計算

ΔX = 1,000.00 × cos305° = 1,000.00 × 0.5736 = +573.58 m

ΔY = 1,000.00 × sin305° = 1,000.00 × (−0.8192) = −819.20 m

（関数表: sin55° = 0.8192，cos55° = 0.5736）

Step3: 座標計算

X_B = X_A + ΔX = −800.00 + 573.58 = −226.42 m

Y_B = Y_A + ΔY = +1,100.00 + (−819.15) = +280.85 m

→ 選択肢 4「X_B = −226.42 m，Y_B = +280.85 m」が正答

誤り選択肢の検討

選択肢 1〜3：Y が +1,600〜+1,900 台と増加しており，sin305° が正（東向き）と誤った場合に該当。

選択肢 5：X が正値になっており，cos305° の符号を誤った場合。

【方向角・座標計算の深層理解とトラバース計算への接続】

平面直角座標系の制度的背景

平成14年国土交通省告示第9号で全国を19系に分割。各系の原点（特定の経緯度）から X 軸を北方向，Y 軸を東方向に設定。縮尺係数（m₀ = 0.9999）によるガウス・クリューゲル投影（UTM の変形）を採用し，原点近傍での面積・距離の歪みを最小化。

方向角（T）と測量方位角・方位の違い

• 方向角（T）: 北方向を 0° として時計回りに 0°〜360° で表す（測量の標準）
• 方位（S/SE/E等）: 16 方位（北北西など）
• 磁方位: 磁北を基準とした方向（磁気偏角 D の補正が必要：T_真北 = T_磁気 + D）
• グリッド方向角：平面直角座標系でのグリッド北を基準（子午線収差分の補正が必要）

sin/cos の符号と象限の記憶法

方向角 T に対する ΔX・ΔY の符号：

| 方向角範囲 | 象限 | ΔX | ΔY |

|-----------|------|----|----|

| 0°〜90° | 北東 | + | + |

| 90°〜180° | 南東 | − | + |

| 180°〜270° | 南西 | − | − |

| 270°〜360° | 北西 | + | − |

本問: 305° → 北西象限 → ΔX = +, ΔY = − → X_B > X_A, Y_B < Y_A ✓

トラバース計算への発展

本問は1辺の座標計算だが，実際のトラバース測量では：

① 各辺の方向角を「前辺方向角 + 偏角 ± 180°」で連鎖計算

② 各辺の ΔX・ΔY を積算

③ 閉合差（理論値との差）を各辺に按分（ボーダン法・クロメンシュミット法）

④ 最終座標を計算

精密計算での注意（測量士レベル）

長距離測量では球面上の測量誤差が顕在化：

• 球面補正: 大地測量学での球面三角法が必要
• 縮尺係数補正: ガウス・クリューゲル投影の縮尺係数（原点から離れると m > 0.9999 に増加）→ 平面距離 = 現地距離 × 縮尺係数
• 子午線収差補正: 平面直角座標系のグリッド北と真北の差（角度）をトラバース方向角に加算

これらの補正は測量士試験（計算問題）で必須の知識であり，測量士補レベルは平面計算の基礎を確実に習得することが目標となる。