測量士補 多角測量 問9出典: 令和5年度 問7

三角高低測量で新点Bの標高を求める計算問題（令和5年度 問7）。正答は(3)「200.71 m」です。

三角高低測量では、往路（A→B）と復路（B→A）の高低差を求め、平均して標高差を確定します。

【A→B方向の高低差】

h₁ = D×sin(αA) + iA − fB

= 1,000×sin(11°00′05″) + 1.500 − 1.600

≈ 1,000×0.19083 − 0.100

≈ 190.83 − 0.10 = 190.73 m

【B→A方向の高低差（BからみたAへの差）】

h₂ = D×sin(αB) + iB − fA

= 1,000×sin(−10°59′55″) + 1.600 − 1.500

≈ −190.79 + 0.10 = −190.69 m

【往復平均による高低差】

h = (h₁ − h₂) / 2 = (190.73 + 190.69) / 2 ≈ 190.71 m

【新点Bの標高】

HB = HA + h = 10.00 + 190.71 = 200.71 m

選択肢(1)(2)は標高差だけで既知点の標高10.00 mを加えていない誤答パターンです。

【三角高低測量の高低差計算・往復観測平均】（令和5年度 問7）

【基本公式（器械高・目標高を考慮した高低差）】

A→B方向: h₁ = D×sinαA + iA − fB

B→A方向（BからAの高低差）: h₂ = D×sinαB + iB − fA

往復観測の平均高低差（A→Bの符号を正とする）:

h_AB = (h₁ − h₂) / 2

【数値計算】

sin(11°00′05″)の計算：

sin(11°) = 0.190809

微小補正: +cos(11°)×(5″/206265) = 0.98163×0.0000242 = +0.0000238

∴ sin(11°00′05″) ≈ 0.190833

sin(10°59′55″)の計算：

sin(11°) = 0.190809

微小補正: −cos(11°)×(5″/206265) = −0.0000238

∴ sin(10°59′55″) ≈ 0.190785

A→B高低差:

h₁ = 1000×0.190833 + 1.500 − 1.600 = 190.833 − 0.100 = 190.733 m

B→A高低差（B視点でのAの高低差）:

h₂ = 1000×sin(−10°59′55″) + 1.600 − 1.500

= −1000×0.190785 + 0.100

= −190.785 + 0.100 = −190.685 m

往復平均（A→Bの高低差）:

h_AB = (h₁ − h₂) / 2 = (190.733 − (−190.685)) / 2 = 381.418/2 = 190.709 m ≈ 190.71 m

【新点Bの標高】

HB = HA + h_AB = 10.00 + 190.71 = 200.71 m → 正答(3)

【誤答パターンの確認】

• 選択肢(1)190.71 m：高低差だけ（HA=10.00 mを加え忘れ）
• 選択肢(2)190.81 m：往路h₁のみで計算（往復平均せずiA−fB未補正）
• 選択肢(4)200.81 m：αAのみ使用（往復平均せず）

【三角高低測量の誤差理論と1級基準点測量の精度管理】（令和5年度 問7）

【往復観測平均の意義と球差・気差の消去】

三角高低測量の高低差公式（厳密式）：

h = D×sinα + (iA − fB) + D²cos²α/(2R) × (1−2k)

第3項は球差・気差補正項（D=1km級では数cm〜十数cmの補正が必要）。

• 球差: +D²cos²α/(2R)（R≈6,371km）
• 気差: −k×D²cos²α/R（k≈0.13：大気屈折係数）
• 球差・気差の合計 = D²cos²α(1−2k)/(2R)

本問では「Dは気象補正等必要な補正が既に行われている」とあるため，球差・気差補正は不要。

往復観測を平均する利点：

①球差・気差が往路・復路で逆符号になるため，平均値でほぼ消去される

②観測時刻のずれによる大気屈折率変動の影響を低減

③αAとαBの角度誤差の一部が相殺

【sin角度の精密計算（高低角に微小補正を適用する理由）】

αA = 11°00′05″とαB = −10°59′55″は，5″の差がある（αA + |αB| = 22°00′00″≠22°00′00″，差=10″）。

往路・復路が完全対称（αA = −αB）でないのは，実際の測量では球差・気差や観測誤差が異なるため。本問では意図的に対称から外して計算能力を試している。

【1級基準点測量の精度規格】

作業規程の準則による1級基準点測量の精度：

• 高低差閉合差（往復観測）: ±10mm√D（D=距離km）

本問: D=1km → ±10mm×1 = ±10mm

• 往路・復路の高低差較差の許容値: |h₁ − (−h₂)| ≦ 20mm√D = 20mm

本問の較差: |190.733 − 190.685| = 0.048m = 48mm > 許容値20mm

※本問は計算問題としての設定のため，実際の較差許容値の問題ではなく，高低差の計算手順を問うことが主目的。

【測量士・実務への接続】

精密水準測量（1・2等）との使い分け：

• 三角高低測量：山岳地・急峻地形での高低差取得に有効
• 精密水準測量：平坦地での標高基準点確定に優れる（精度: ±1〜2mm√D）

GNSS測量との組み合わせ（近年の主流）：GNSS楕円体高＋ジオイド高（GSIGEO2011）で標高を求める方法が普及しているが，三角高低測量の原理理解は基盤技術として必須。