第一種電工 平成30年度 問3｜電気の基礎理論

コイル（誘導性リアクタンス）だけの回路では、電流は電圧より90°（π/2）遅れて流れます。電流の大きさ（実効値）は、電圧の実効値をリアクタンスで割って求めます。電圧の式 100√2 sin(2πft) の最大値は100√2Vなので、実効値は100Vです。100V÷10Ω＝10Aなので、電流の最大値は10√2Aになります。これを「90°遅れ」とあわせて式にすると i＝10√2 sin(2πft − π/2) です。遅れは「−（マイナス）」で表すことも覚えておきましょう。正答はア です。

【手順1：電流の大きさ】

v＝Vm sin(2πft) の形で、最大値 Vm＝100√2 V、実効値 V＝Vm/√2＝100 V。

電流の実効値 I＝V/XL＝100/10＝10 A、最大値 Im＝√2 I＝10√2 A。

【手順2：位相】

誘導性リアクタンスだけの回路では、電流は電圧より π/2［rad］（90°）遅れます。遅れは位相角をマイナスにして表すので、

i＝10√2 sin(2πft − π/2) → 正答はア。

【ほかの選択肢が誤りの理由】

・イ：角周波数が πf になっていて（正しくは2πf）、最大値も10（実効値の10Aを最大値として書いている）。位相も進みになっています。

・ウ：−10cos(2πft＋π/6) は 10 sin(2πft − π/3) と同じで、最大値が10、遅れが60°なので誤り。

・エ：2πft ではなく 2ft、さらに位相の90が度とラジアンの混在で、式として成り立っていません。

【位相が90°遅れる理由】

コイルの端子電圧は v＝L di/dt です。i＝Im sin ωt とおくと v＝ωL Im cos ωt＝ωL Im sin(ωt＋π/2) となり、電圧が電流より90°進む、つまり電流は電圧より90°遅れることが分かります。同時に、最大値の比 Vm/Im＝ωL＝XL がリアクタンスの定義になります。コンデンサでは i＝C dv/dt から逆に電流が90°進みます。

【式の読み取り方】

瞬時値の式 v＝Vm sin(ωt＋φ) から読み取るのは3つです。

①最大値Vm（実効値はVm/√2）

②角周波数ω＝2πf（周波数fの2π倍）

③初期位相φ（＋は進み、−は遅れ）

本問では①100√2 V、②2πf、③0 で、電流は①10√2 A、②2πf（周波数は変わらない）、③−π/2 となります。正弦波交流では、線形の回路素子を通っても周波数は変わらない点も選択肢を絞る手がかりになります。

【cos表示との変換】

−cos x ＝ sin(x − π/2)、cos x ＝ sin(x＋π/2) を使うと、cos で書かれた式も sin にそろえて比較できます。正答の式は i＝−10√2 cos(2πft) とも書けます。

【実務とのつながり】

誘導電動機や変圧器の励磁電流は、このような遅れ電流を含むため、受電点の力率が遅れになります。高圧受電設備で進相コンデンサを設置して力率を改善するのは、この遅れ電流を進み電流で打ち消すためです。