電験三種 令和7年度下期 電力 問2｜発電（水力発電）

電験三種「電力」の「発電（水力発電）」に関する問題（令和7年度下期 問2）。正答は(1)です。

質量 m [kg] の物体が速度 v [m/s] で動いているときの運動エネルギーは (1/2)mv² [J] です。体積 1 m³ の水の質量は密度 ρ [kg/m³] の値そのもの（ρ×1 m³）なので、m に ρ を入れると、単位体積当たりの運動エネルギーは (1/2)ρv² [J/m³] になります。単位も kg/m³ × (m/s)² = (kg·m²/s²)/m³ = J/m³ と一致します。

【論点】水の運動エネルギーを単位体積当たりで表す（令和7年度下期 問2）

【導き方】

質量 m の運動エネルギー：(1/2)mv² [J]

体積 V [m³] の水の質量：m = ρV [kg]

→ 運動エネルギー = (1/2)ρVv² [J]

→ 単位体積当たり（V で割る）= (1/2)ρv² [J/m³]

【単位による確認】

(1) (1/2)ρv²：kg/m³ × m²/s² = kg/(m·s²) = J/m³（1 J = 1 kg·m²/s²）。題意の単位と一致する。

(2) (1/2)ρ²v：kg²/m⁶ × m/s = kg²/(m⁵·s)。J/m³ にならない。

(3) 2ρv：kg/m³ × m/s = kg/(m²·s)。これは単位体積当たりの運動量（ρv）の2倍の形で、エネルギーではない。

(4) √(2ρv)：単位は kg/(m²·s) の平方根で、エネルギーの単位にならない。

(5) (1/2)ρ²v²：kg²/(m⁴·s²)。ρ が2乗になっており J/m³ にならない。

【ベルヌーイの定理とのつながり】

管路内の水について、圧力 p、位置 h、速度 v の間に p + ρgh + (1/2)ρv² = 一定 が成り立つ。各項はどれも単位体積当たりのエネルギー[J/m³]（= 圧力[Pa]）で、(1/2)ρv² はその「運動エネルギーの項」にあたる。よって正答は(1)。

【核心論点】単位体積当たりの運動エネルギー (1/2)ρv² は、ベルヌーイの定理の「動圧」の項そのもの（令和7年度下期 問2）。正答は(1)です。

【3通りの表し方】

ベルヌーイの定理は、同じ内容を次の3つの形で書ける。

・単位体積当たり（圧力の形）：p + ρgh + (1/2)ρv² = 一定 [J/m³ = Pa]

・単位重量当たり（水頭の形）：p/(ρg) + h + v²/(2g) = 一定 [m]

・単位質量当たり：p/ρ + gh + v²/2 = 一定 [J/kg]

本問は単位体積当たりなので (1/2)ρv²。水頭の形の速度水頭 v²/(2g) は、(1/2)ρv² を ρg で割ったものである。両者を取り違えないよう、求められている「単位」から逆算する習慣をつけるとよい。

【数値例】

ρ = 1 000 kg/m³、v = 4 m/s のとき、(1/2)ρv² = 0.5 × 1 000 × 16 = 8 000 J/m³（= 8 kPa）。速度水頭に直すと v²/(2g) = 16/(2×9.8) ≒ 0.82 m となる。有効落差が数十〜数百 m ある発電所では、水圧管内の運動エネルギーは位置エネルギーや圧力エネルギーに比べて小さいことがわかる。

【誤りの選択肢のつくり】

(2)(5)は ρ を2乗しており、密度を2回掛ける物理的な根拠がない。(3)の 2ρv は単位体積当たりの運動量 ρv を2倍しただけの形で、エネルギーではない。(4)の √(2ρv) は、ノズルの噴出速度 v = √(2gH)（トリチェリの定理）と形を似せたもので、記号を入れ替えただけでは意味を持たない。いずれも単位を確かめれば J/m³ にならないので、単位の確認だけで(1)に絞れる。

【水車との関係】

衝動水車（ペルトン水車）は、圧力エネルギーをノズルで速度エネルギーに変え、噴流の運動エネルギーでランナを回す。落差 H の水がすべて速度に変わると v = √(2gH) となり、このときの単位体積当たりの運動エネルギー (1/2)ρv² は ρgH に等しい。反動水車（フランシス水車・プロペラ水車）は圧力エネルギーと運動エネルギーの両方をランナで受け取る。水力発電の出力 P = ρgQHη（= 9.8QHη [kW]）も、単位体積当たりのエネルギー ρgH に流量 Q を掛けたものとして同じ筋で理解できる。