電験三種 機械 問16照明

電験三種「機械」の「照明」からの出題（令和7年度上期 問12）。正答は(4)です。

均等光源はあらゆる方向に同じ強さで光を出すので、光度は I＝5 000÷4π≒398 cd です。

中心 O は四隅から水平に √(3²＋4²)＝5 m 離れていて、ランプの高さも 5 m なので、ランプから O までの距離は √(5²＋5²)＝√50 m、光の入射角の余弦は cosθ＝5÷√50＝1/√2 です。

1灯分の水平面照度は 398×(1/√2)÷50≒5.63 lx、4灯分で約 22.5 lx となり、正答は(4)です。

【使う式】

・均等光源の光度：I＝F／4π [cd]（全光束 F が全方向 4π [sr] に均等に出る）

・水平面照度（逆2乗の法則＋入射角の余弦法則）：E_h＝(I／r²)cosθ [lx]

　r：光源から点までの距離、θ：光の向きと水平面の法線（鉛直方向）とのなす角

【本問の計算】

① 光度：I＝5 000／4π≒397.9 cd

② O までの水平距離：長方形の中心なので、どの隅からも √(3²＋4²)＝5 m（対角線 10 m の半分）

③ ランプから O までの距離：r²＝5²＋5²＝50 m²、r＝√50≒7.07 m

④ 入射角の余弦：cosθ＝高さ／r＝5／√50＝1／√2≒0.707

⑤ 1灯分の照度：E₁＝(397.9／50)×0.707≒5.63 lx

⑥ 4灯は O から同じ条件なので E＝4×5.63≒22.5 lx → 正答(4)

【誤りの選択肢】

・(5)5.6：1灯分だけの照度。

・(3)31.8：4×397.9／50 と、cosθ を掛けずに法線照度を求めた値。

・(1)283：光度を求めずに全光束 5 000 をそのまま光度として使った値（5 000×0.707／50×4≒283）。

【法線照度と水平面照度】

点光源から距離 r の点で、光の進む向きに垂直な面が受ける照度（法線照度）は E_n＝I／r² です。水平な地面は光の向きに対して傾いているので、同じ光束が広い面積に当たり、照度は cosθ 倍に下がります。

　E_h＝E_n cosθ＝(I／r²)cosθ

本問では cosθ＝h／r を使うと、E_h＝I h／r³ と書くこともできます。

　E₁＝397.9×5／(√50)³＝1 989.5／353.6≒5.63 lx

高さ 5 m と水平距離 5 m が等しいので、光は 45° の角度で地面に当たり、cosθ＝1/√2 となる、という数値の組み立てになっています。

【均等光源の光度】

均等光源（等方性光源）とは、どの方向にも同じ光度で光を出す光源です。全空間の立体角は 4π [sr] なので、全光束 F との関係は F＝4πI、すなわち I＝F／4π になります。照度の式に入るのは光度 I であって光束 F ではないので、この換算を忘れると答えが 4π（≒12.6）倍ずれ、(1)の 283 のような値になります。

【4灯の合成】

照度は足し合わせられる量なので、複数の光源による照度はそれぞれの照度の和になります。O は長方形の中心で、4本の柱からの水平距離はすべて 5 m、高さもすべて 5 m なので、4灯の寄与はどれも等しく、1灯分を 4 倍すれば済みます。中心以外の点では、灯ごとに距離と cosθ を求めて合計します。

【誤答の作り方の整理】

・cosθ を掛け忘れる（法線照度で答える）→ 31.8

・1灯分で止める → 5.6

・光束を光度とみなす → 283

「均等光源 → I＝F／4π」「水平面 → cosθ」「複数灯 → 合計」の3点を順に確かめると、どの誤りも避けられます。

【関連する出題】

電験三種の機械の照明分野では、点光源による水平面照度・鉛直面照度の計算、光束法による平均照度の計算、光度・照度・輝度などの単位の関係が繰り返し出題されています。本問のように光源の配置が対称な場合は、1灯分を求めて灯数を掛けるだけで済むかどうかを先に確かめると効率よく解けます。